La logique pour les nuls

Avertissement

Ces pages -initialement conçues par un étudiant de philosophie et régulièrement modifiées par les lecteurs- se présentent sous la forme d'une brève histoire de la logique à laquelle sont intégrées ses différentes branches ainsi que certains des problèmes étudiés à l'heure actuelle. Elles ont pour objectif de permettre au lecteur novice en matière de logique de se faire rapidement une idée sur le sujet.

Chapitre I. Antiquité, Moyen Âge et Temps Modernes

A. Aristote

1. Introduction

Aristote

L'étude systématique de la logique commence avec Aristote, philosophe grec du IVe siècle A.C. Les écrits d'Aristote relatifs à la logique furent édités sous le nom d'Organon (instrument) par Andronicus de Rhodes vers 60 A.C. Leur mise en forme traditionnelle a été réalisée par Boèce au Ve siècle P.C. Le choix du terme organon traduit bien l'idée du philosophe qu'était Aristote. Pour lui, la logique était l'instrument du savoir, non le savoir lui-même. Elle devait permettre de distinguer les raisonnements corrects des raisonnements incorrects. Son intérêt pour les sciences conduisit Aristote à l'étude des propositions dites catégoriques.

Cette structure S-P des propositions catégoriques peut donc varier en qualité (affirmative ou négative) et en quantité (universelle ou particulière). A propos de la quantité, Aristote adopte le point de vue extensionnel qui sera en grande partie celui de la logique contemporaine. Chaque terme possède une extension (l'ensemble des objets qu'il désigne) et une compréhension (les caractères qu'on énonce quant on définit le terme). Ainsi homme a pour extension la classe des objets auquel le terme homme peut être appliqué : Pierre, Paul, Jacques... et comme compréhension la classe de ses caractères : être vivant, bipède, omnivore... Pour Aristote, les propositions universelles considèrent toute l'extension du sujet, les particulières seulement une partie. En combinant les paramètres de qualité et de quantité, il existe quatre types de proposition catégorique.

Les quatre premières voyelles de l'alphabet latin A, E, I, O qui désignent habituellement ces propositions proviendraient des mots latin AffIrmo et nEgO (j'affirme, je nie).

Tous les énoncés du langage ordinaire ne présentent pas spontanément la structure S-P. Il faut donc les transformer pour les rendre conformes à cette structure logique. Parmi les procédés utilisés, le plus simple est celui de la transformation du verbe intransitif en copule+participe présent : Tous les Grecs mangent devient Tous les Grecs sont mangeant ou Tout Grec est mangeant. Cette analyse logique fait ainsi violence au langage naturel. Il faudra attendre la fin XIXe siècle et le développement de la philosophie du langage et de la linguistique au XXe siècle pour voir émerger des logiques qui épousent davantage le fonctionnement du langage ordinaire.
 

2. Théorie de l'inférence immédiate

La théorie de l'inférence immédiate est une analyse des relations nécessaires entre propositions. Pour Aristote, raisonner c'est inférer. L'action d'inférer consiste à tirer d'une ou de plusieurs propositions données et connues comme vraies ou comme fausses (qu'on appelle prémisses) une ou plusieurs propositions nouvelles jugées vraies ou fausses en fonction de la relation logique que l'on a établie entre elles et les prémisses. Les inférences immédiates partent d'une seule proposition, jugée vraie ou fausse; les inférences plus complexes, dites médiates (comme le syllogisme), partent de deux propositions au moins (deux exactement dans le cas du syllogisme).

L'inférence immédiate est un raisonnement composé de deux propositions : une prémisse et une conclusion, unies par un lien de conséquence logique. Celles qui intéressent Aristote sont les inférences immédiates valides, c'est-à-dire celles qui, partant d'une prémisse supposée vraie, conduisent nécessairement à une conclusion vraie. Aristote, le premier, établit une distinction entre la validité formelle d'un raisonnement et la vérité factuelle des propositions qui le constituent. Un raisonnement peut être valide même si certaines propositions qui la composent sont fausses. Tout homme est un automate donc Quelque homme est un automate est, pour Aristote, une inférence valide. 

Une série d'inférences immédiates sont rassemblées sous la forme traditionnelle du carré logique. Ce carré donne un nom aux relations inférentielles qui existent entre des propositions A, E, I et O.

• La relation de contradiction oppose deux propositions de quantité et de qualité différentes. Les contradictoires prennent toujours une valeur de vérité opposée.
• La relation de contrariété oppose deux propositions de même quantité (universelle) mais de qualité différente. Les contraires ne peuvent être vraies en même temps.
• La relation de subcontrariété oppose également deux propositions de même quantité (particulière) mais de qualité différente. Les subcontraires ne peuvent être fausses en même temps.
• La relation de subalternation oppose deux propositions de même qualité mais de quantité différente. La vérité de la subalterne inférieure suit de la vérité de la supérieure.

Le résultat de ces inférences immédiates peut être présenté dans un tableau symétrique.
A gauche on a l'hypothèse de départ, à droite ce qu'il est possible d'en inférer. 

La première ligne du tableau se lit : Si A est vraie, E est fausse, I est vraie et O est fausse. S'il est vrai que tout homme est mortel, alors il est faux qu'aucun homme n'est mortel; il est vrai que quelque homme est mortel (ce qui est vrai de tous est vrai de l'un d'entre eux) et il est faux que quelque homme n'est pas mortel (puisqu'ils le sont tous, sans exception).

 2.1. La relation de conversion

D'autres relations que celles exprimées par le carré logique ont également été abordées. La plus importante d'entre elles est sans doute la relation de conversion qui permet de passer d'une proposition à une autre dans laquelle sujet et prédicat ont été permutés tout en conservant à la proposition la même valeur de vérité. S est P devient P est S ; ou plus exactement (Quantificateur) S-(Copule)-P devient (Quantificateur) P-(Copule)-S.

La quantité de la proposition détermine l'extension du sujet. Dans une proposition universelle, le sujet est pris universellement, tandis que dans une proposition particulière, le sujet est pris particulièrement. L'extension du prédicat, elle, est déterminée par la qualité (affirmation ou négation) de la proposition. Dans une proposition affirmative, le prédicat est toujours particulier, dans une proposition négative, le prédicat est toujours universel.

Les prémisses en E et I autorisent des conversions simples. Elles donnent respectivement E et I. Aucun mammifère n'est ovipare donne, par conversion simple, Aucun ovipare n'est mammifère. Quelques chimpanzés sont petits donne Quelques (choses) petites sont des chimpanzés.

Il existe une figure de conversion dans laquelle l'extension d'un des termes change, celle qui permet de passer de A à I. On parle alors de conversion par accident. Elle s'opère par limitation, en passant d'une universelle à une particulière, autrement dit en diminuant la quantité de la proposition. Tous les chats sont gris (A) peut être convertie en Quelques (choses) grises sont des chats (I).

O n'autorise pas la conversion. L'inférence est indécidable parce que O est trop libérale en ce qui concerne les rapports entre les extensions de P et de S.

La relation de conversion peut être exposée graphiquement, c'est-à-dire en termes de classes.

E : Aucun homme n'est mortel donne par conversion E : Aucune (chose) mortelle n'est homme
I : Quelques hommes sont mortels donne par conversion I : Quelques (choses) mortelles sont des hommes
La conversion par limitation de A : Tous les hommes sont mortels donne I : Quelques choses mortelles sont des hommes

La conversion de O : Quelques hommes ne sont pas mortels est indéterminée, elle peut correspondre à A, E, I ou O :
à A : Toutes les choses mortelles sont des hommes
ou à E : Aucune chose mortelle n'est un homme
ou à I  : Quelque chose mortelle est un homme
ou encore à O : Quelque chose mortelle n'est pas un homme

2.2. Obversion et contraposition

Outre la conversion, la tradition a développé et nuancé cette théorie de l'inférence en cherchant d'autres formes impliquant des manipulations plus complexes des éléments en jeu : sujet, prédicat, négation, affirmation, particularité, universalité. Ces opérations sont l'obversion et la contraposition.

	L'obverse d'une proposition s'obtient en changeant la qualité de celle-ci et en niant le prédicat. Exemple : Tous les hommes sont mortels (A) devient Aucun homme n'est immortel (E). Quelques chats sont gris (I) devient Quelques chats ne sont pas non gris (O).
	La contraposée d'une proposition s'obtient en inversant le sujet et le prédicat pour les nier ensuite tous deux. Cela donne une proposition contraposée de même qualité, quantité et valeur de vérité. On peut construire des inférences immédiates valides à partir de A et de O par contrapositions simples et à partir de E par contraposition par limitation.

• Tous les lézards sont verts (A) devient Tout ce qui est non vert est non lézard (A). 
• Quelques hommes ne sont pas sportifs (O) donne Quelques non sportifs ne sont pas non hommes (O) (ce qui revient à dire : Il y a certains hommes qui ne sont pas sportifs, mais qui ne sont pas pour autant à exclure la classe des hommes).
  

2.3. Remarque

Concrètement, cette théorie de l'inférence immédiate permet de construire de nombreuses propositions vraies et de nombreux raisonnements valides à partir d'une prémisse vraie. Voici par exemple toutes les inférences qu'il est possible de tirer de l'énoncé Tous les hommes sont mortels au moyen du carré logique et de la conversion.

• E : Il est faux qu'aucun homme n'est mortel
• I : Quelques hommes sont mortels
• O : Il est faux que quelques hommes ne sont pas mortels
• I (conversion par limitation) : Quelques mortels sont des hommes

3. Théorie du syllogisme

Nous venons de voir comment construire une série d'inférences immédiates et comment déterminer celles qui sont valides. Aristote, dans son exposé de la syllogistique, examine les inférences médiates particulières que sont les syllogismes et tente de déterminer les formes d'inférences valides.

3.1. Le syllogisme

Un syllogisme est la mise en relation logique de deux propositions catégoriques (les prémisses) avec une troisième (la conclusion). Aristote le présente comme suit : « Si a est prédiqué de tout b, et b prédiqué de tout c, nécessairement a est prédiqué de tout c. {...}. » Plus tard, on appellera a (le prédicat de la conclusion) le terme majeur, c (le sujet de la conclusion) le terme mineur, et b le moyen terme (c'est-à-dire le terme apparaissant dans les prémisses et non dans la conclusion).

La prémisse contenant le majeur ou grand terme s'appelle la majeure, et celle contenant le mineur ou petit terme, la mineure. Ces désignations font référence au point de vue extensionnel déjà signalé chez Aristote. Le grand terme est, dans l'exemple donné, celui qui possède la plus grande extension ; le petit la plus réduite. Le moyen terme a une extension intermédiaire.

Dans l'exemple qui suit, « Grec » est le terme mineur (il y a moins de Grecs que d'hommes ou de mortels), « mortels » est le terme majeur (il y a plus de mortels que d'hommes ou de Grecs) et « hommes » est le moyen terme.

3.2. La syllogistique

La syllogistique est l'étude systématique de toutes les formes de syllogismes possibles, ainsi que l'examen des liaisons existant entre les divers types de syllogismes. Le projet de départ d'Aristote était très ambitieux. Il entendait développer une syllogistique modale dont la syllogistique assertorique n'aurait été qu'une partie. Aristote avait en effet remarqué que l'affirmation prédicative pouvait se faire suivant diverses modalités :

• L'affirmation assertorique énonce une proposition catégorique comme vraie : Tous les hommes sont mortels
• L'affirmation problématique énonce une proposition catégorique comme probablement vraie : Il est probable qu'aucun homme ne soit mortel
• L'affirmation catégorique énonce une proposition catégorique comme nécessairement vraie : Nécessairement, tous les hommes sont mortels

Cette division tripartite permet de nouvelles combinaisons (syllogismes dont une prémisse est problématique et l 'autre assertorique...). Si Aristote s'est limité à la syllogistique assertorique, on peut voir ici une anticipation de ce qui s'est récemment développé sous le nom de logique modale.

Les syllogismes assertoriques peuvent être de quatre figures, lesquelles présentent chacune soixante-quatre modes.

3.2.1 Quatre figures

Tout syllogisme appartient appartient nécessairement à l'une des quatre figures, lesquelles peuvent être distinguées l'une de l'autre par la place qu'y occupe le moyen terme.

3.2.2. Soixante quatre modes par figure

Tout syllogisme est composé de trois propositions. Chacune de ces propositions pouvant appartenir à l'une des quatre catégories de propositions (A, E, I ou O), il en résulte que chaque figure présente 64 modes syllogistiques. On peut avoir des syllogismes en mode AAA ou AAI ou AEO, etc. Avec cette division en figures et en modes, Aristote pouvait être certain d'examiner toutes les possibilités de combiner les éléments qu'il avait décrits.

Aucune vulgarisation n'est aisée

Quelques travaux sont des vulgarisations

Quelques travaux ne sont pas aisés

Ce qui intéresse Aristote, c'est de distinguer les formes de syllogismes valides. Pour procéder à une telle distinction, on peut procéder intuitivement,en remarquant, par exemple, que des séries de type IAA ou OOA, qui tirent des conclusions universelles de prémisses particulières, ne peuvent être valides. Une autre méthode, celle qui fut adoptée par Aristote, est de réduire la validité des syllogismes à la validité de quelques formes syllogistiques que l'on tient pour immédiatement valides en vertu de leur évidence. Ce sont les quatre modes fondamentaux de la première figure. Aristote les appelait les syllogismes parfaits (AAA, EAE, AII, EIO). Cette réduction se fait à l'aide de transformations dont la plus importante est la conversion.

Certains points de la pensée d'Aristote ont un caractère très moderne. Il pratique un constructivisme formel a priori qui épuise toutes les possibilités combinatoires d'un jeu donné d'éléments parmi lesquels il introduit, en outre, la notion de quantification. Il existe chez lui une ébauche d'axiomatisation et une mise en évidence des lois fondamentales de la pensée : les principes d'identité, de la non-contradiction et du tiers exclus.

En vertu du principe du tiers exclu, de deux propositions contradictoires l'une est vraie et l'autre fausse. Selon le principe d'identité, toute proposition est égale à elle même. Le principe de non-contradiction énonce qu'il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas en même temps, au même sujet et sous le même rapport.

B. Les stoïciens et les Mégariques

L'école de Mégare fut fondée par Euclide de Mégare (450-380). Elle s'inscrit dans la tradition sophistique, opposée à l'école Aristotélicienne. Les Mégariques ont été les premiers à souligner l'importance de paradoxes logiques qui semblent remettre en question certaines notions fondamentales de la logique, telle la notion de vérité. Euboulide de Milet a, par exemple, énoncé le paradoxe du menteur qui demande à son interlocuteur de fixer la valeur de vérité de l'énoncé Je mens (plus précisément : Ce que je dis est faux). Si il est vrai que je mens, la valeur de vérité de cet énoncé est faux. S'il est faux que je mens, alors je dis vrai. Ce problème traditionnel des logiciens a refait surface au début du XXe siècle. Bertrand Russell, notamment, a élaboré sa théorie des types pour tenter de résoudre ce genre de paradoxes.

L'un de ces «indémontrables» stoïciens est le modus ponens : Si le premier, alors le second. Or le premier. Donc le second . Les expressions «le premier» et le «le second» sont en fait des variables représentant n'importe quelles propositions. On ne se préoccupe de la structure interne d'aucune d'entre elles, mais on décompose la prémisse de forme «si...alors...» qui est une proposition complexe, ou composée, en deux propositions plus simples.

C. La fin de l'Antiquité et le Moyen Âge

A la fin du IIème siècle, on entre dans une période de stagnation d'où émergent cependant de grands commentateurs tels que Galien (IIème siècle), Porphyre (fin IIIème siècle), Alexandre d'Aphrodise (IIe et IIIe siècles P.C.), Simplicius (Ve et VIe siècles) et enfin Boèce qui coule dans sa forme traditionnelle la théorie de l'inférence immédiate et la syllogistique aristotéliciennes.

 1. Le renouveau : du VIIIe au XIVe siècles

C'est depuis cette période dite scolastique (littéralement : de l'école) que l'on dispose de la quasi totalité de la logique d'Aristote. Les scolastiques se sont interrogés sur le statut et la signification des termes du langage. Sur le plan de la signification, la distinction entre la mention ("arbre" possède cinq lettres) et l'usage (tout arbre possède des feuilles) d'un terme est établie. A travers la querelles des universaux, la logique scolastique tente de déterminer le statut des termes généraux .

2. Renaissance et Modernité : du XVe au XIXe siècles

On assiste, au cours de cette période, à un déclin relatif de la logique dans la mesure où aucune innovation importante ne voit le jour. Pour la première fois dans l'histoire, cependant, la recherche logique est formulée en langue vulgaire dans des ouvrages comme la logique de Port-Royal : La logique ou l'art de penser d'Arnauld et Nicole (1662). En outre cette époque compte certaines personnalités de premier plan.

En 1666, Leibniz donne une Dissertatio de arte combinatoria, dans laquelle il formule un projet anticipant celui de la logique symbolique contemporaine. Les grandes lignes de ce projet sont de fonder une notation universelle et artificielle des idées simples en les symbolisant, et d'établir ensuite des techniques automatisables afin de combiner ces symboles simples ou atomiques. Bref, le projet de Leibniz est de remplacer la pensée et l'intuition par un calcul sur des signes qui serait plus sûr et plus rapide.

Euler (1707-1783) est le premier à tenter de représenter les relations syllogistiques par des diagrammes.

J. Stuart Mill (1806-1873) est le grand promoteur de l'induction (procédé consistant à tirer d'observations particulières des vérités universelles). A ses yeux, ce procédé est plus originaire que la déduction qui le présuppose toujours. C'est dans son ouvrage A system of logic, qu'il présentera sa logique inductive.

De manière générale pourtant, les grands philosophes de l'époque, Descartes (1596-1650), Kant (1724-1804), Hegel (1770-1831) notamment, étaient des adversaires de la logique formelle ou estimaient que la logique était une science qui était sortie achevée de la plume d'Aristote.

   
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